Chapitre 17 : Modélisation de l'écoulement d'un fluide 💧🌊

▶️ Capsule : Le cours complet

▶️ Capsule : Le cours complet 2

I - La poussée d'Archimède 🏊⬆️

A savoir

La résultante des forces pressantes exercées par un fluide sur un objet immergé est appelée la Poussée d'Archimède, notée \(\overrightarrow{\Pi_A}\) (ou \(\overrightarrow{P_A}\)) dont les caractéristiques sont :

\[\overrightarrow{\Pi_A}~\left\{\begin{array}{l}{\text{Point d'application : centre de masse de l'objet}}\\ {\text{Direction : verticale}} \\ {\text{Sens : vers le haut}} \\ {\text{Intensité : }\Pi_A = \rho_\text{fluide} \times g \times V_\text{immergé}~~\text{(en N)}}\end{array}\right.\]

Poussée d'Archimède sur un objet immergé

La poussée d'Archimède est une force opposée au poids du fluide déplacé \(\overrightarrow{P_\text{fluide}}\), son expression vectorielle est donc :

\[\overrightarrow{\Pi_A} = -\rho_\text{fluide} \times V_\text{immergé} \times \overrightarrow{g}\]

⚠️ Attention : \(V_\text{immergé}\) est le volume de la partie immergée dans le fluide.

Un objet immergé dans un fluide remonte si la valeur de la poussée d'Archimède est supérieure à la valeur de son poids :

\[\Pi_A > P_\text{objet}\]

▶️ Capsule : La poussée d'Archimède

▶️ Capsule : Poussée d'Archimède et 2ème loi de Newton

II - Débit volumique en régime permanent 🔀💨

A savoir

1. Hypothèses de travail 📋

L'étude du mouvement des fluides est extrêmement compliquée, c'est pourquoi on simplifie le problème en posant les hypothèses suivantes :

• Le fluide étudié est non visqueux (de l'eau, pas du miel) : frottements internes négligés.
• Le fluide étudié est incompressible et homogène : son volume ne peut pas varier.
• L'écoulement est permanent : vitesse et pression en tout point ne dépendent pas du temps.
• L'écoulement est laminaire : pas de tourbillons ni de mouvements de rotation à l'intérieur du fluide.

2. Débit volumique 📐

Le débit volumique \(D_V\) (ou \(Q_V\)) d'un fluide est le volume de fluide traversant une section \(S\) par unité de temps.

\[D_V = \frac{V}{\Delta t}~~\left\{\begin{array}{l}{D_V~\text{: débit volumique en m}^3\text{·s}^{-1}}\\ {V~\text{: volume en m}^3} \\ {\Delta t~\text{: durée en s}}\end{array}\right.\]

Écoulement d'un fluide dans un tuyau de section S

Si on considère un liquide qui s'écoule dans un tuyau et dont le débit volumique \(D_V\) est constant alors le volume \(V\) de liquide traversant une section \(S\) du tuyau pendant une durée \(\Delta t\) peut s'écrire :

\[V = S \times l = S \times v \times \Delta t~~\left\{\begin{array}{l}{V~\text{: volume en m}^3}\\ {S~\text{: section du tuyau en m}^2} \\ {l~\text{: longueur en m}} \\ {v~\text{: vitesse d'écoulement en m·s}^{-1}} \\ {\Delta t~\text{: durée en s}}\end{array}\right.\]

On peut exprimer le débit volumique en utilisant l'expression précédente :

\[D_V = \frac{V}{\Delta t} = \frac{S \times l}{\Delta t} = S \times v\]

Le débit volumique peut donc s'exprimer en fonction de la surface \(S\) de la section du tuyau et de la vitesse \(v\) d'écoulement du liquide dans le tuyau :

\[D_V = S \times v~~\left\{\begin{array}{l}{D_V~\text{: débit volumique en m}^3\text{·s}^{-1}}\\ {S~\text{: section du tuyau en m}^2} \\ {v~\text{: vitesse d'écoulement en m·s}^{-1}}\end{array}\right.\]

▶️ Capsule : Le débit volumique

3. Conservation du débit volumique ♻️

Au cours de l'écoulement en régime permanent (ou stationnaire) d'un fluide incompressible, il y a conservation du débit volumique :

\[D_V = S_A \times v_A = S_B \times v_B = \text{constante}\]

Conservation du débit volumique dans un tuyau de section variable

III - La relation de Bernoulli 🌬️✈️

A savoir

1. Relation de Bernoulli 📏

Pour un fluide incompressible, en régime permanent et sans frottement, la relation de Bernoulli est conservée le long d'une même ligne d'écoulement :

\[P + \rho \times g \times z + \frac{1}{2} \times \rho \times v^2 = \text{constante}~~\left\{\begin{array}{l}{P~\text{: pression en Pa (Pascal)}}\\ {\rho~\text{: masse volumique du fluide en kg·m}^{-3}} \\ {z~\text{: altitude en m (axe vertical vers le haut)}} \\ {v~\text{: vitesse du fluide en m·s}^{-1}} \\ {g = 9{,}81~\text{N·kg}^{-1}}\end{array}\right.\]

Relation de Bernoulli le long d'une ligne de couran

📌 Application 1

Si le fluide est au repos dans le référentiel terrestre, alors les vitesses sont nulles et la relation s'écrit :

\[P + \rho \times g \times z = \text{constante}\]

On retrouve la relation fondamentale de la statique des fluides.

📌 Application 2 – Théorème de Torricelli 🚿

Dans la situation d'un récipient percé d'un orifice, on peut appliquer le théorème de Bernoulli avec les hypothèses simplificatrices suivantes :

• \(P_A = P_B = P_\text{atm}\)
• \(v_A = 0~\text{m·s}^{-1}\) car la surface libre descend très lentement
• \(z_A - z_B = h_0\) car la différence d'altitude est égale à la hauteur du liquide

Application de Bernoulli – Théorème de Torricelli

On peut donc simplifier la relation comme suit :

\[P_A + \rho \times g \times z_A + \frac{1}{2} \times \rho \times v_A^2 = P_B + \rho \times g \times z_B + \frac{1}{2} \times \rho \times v_B^2\]

\[\rho \times g \times z_A + \frac{1}{2} \times \rho \times v_A^2 = \rho \times g \times z_B + \frac{1}{2} \times \rho \times v_B^2 \quad \text{car } P_A = P_B = P_\text{atm}\]

\[\rho \times g \times z_A = \rho \times g \times z_B + \frac{1}{2} \times \rho \times v_B^2 \quad \text{car } v_A = 0~\text{m·s}^{-1}\]

\[g \times z_A = g \times z_B + \frac{1}{2} \times v_B^2 \quad \text{car on simplifie par } \rho\]

\[g \times (z_A - z_B) = g \times h_0 = \frac{1}{2} \times v_B^2\]

On obtient ainsi la formule (ou théorème de Torricelli) :

\[v_B^2 = 2 \times g \times h_0 \quad \text{ou} \quad v_B = \sqrt{2 \times g \times h_0}\]

▶️ Capsule : Application de la relation de Bernoulli

2. Effet Venturi 🔧

L'effet Venturi, du nom du physicien italien Giovanni Battista Venturi, est le nom donné à un phénomène de la dynamique des fluides, selon lequel un fluide en écoulement subit une dépression là où la vitesse d'écoulement augmente, ou là où la section d'écoulement se rétrécit.

Effet Venturi dans un conduit à section variable

Un conduit de section principale \(S_A\) subit un étranglement en B où sa section est \(S_B\). L'effet Venturi est la conséquence directe de la relation de Bernoulli : dans un rétrécissement, la vitesse augmente et la pression diminue.

\[S_B < S_A \Rightarrow v_B > v_A \Rightarrow p_B < p_A\]

Exemples d'application : 🛠️

• Carburateurs de petits moteurs : tondeuse à gazon, scooter à essence, moto, voiture ancienne, …
• L'explosion (implosion) des fenêtres lors d'une tornade : le vent soufflant à grande vitesse crée une basse pression, l'air à l'intérieur de la maison se précipite pour occuper ce vide et brise le verre de la fenêtre.
• Portance d'une aile d'avion ✈️
• Pistolet à peinture, flacon de parfum 🎨

▶️ Capsule : L'effet Venturi

▶️ Capsule : Écoulement des fluides – Exo Bac