Chapitre 8 : Évolution temporelle d’une transformation nucléaire⚓︎
▶️ Capsule : Le cours complet
⚛️ I. Stabilité et instabilité des noyaux⚓︎
🧠 A savoir
📚 1) Rappels sur l'atome et les éléments chimiques⚓︎
Un atome est constitué par un noyau entouré d'un nuage d'électrons. Le noyau est composé de nucléons, qui rassemblent les protons et les neutrons.
La notation symbolique du noyau d'un atome est la suivante :
Un élément chimique est l'ensemble des atomes de même numéro atomique Z : on connaît à ce jour 118 éléments chimiques.
Des noyaux qui ont même numéro atomique Z (même nombre de protons) mais des nombres de nucléons différents A (nombre de neutrons différent) s'appellent des isotopes.
Les éléments présentent un grand nombre d'isotopes : si certains (environ 300) sont stables ou quasi stables, la grande majorité d'entre eux sont instables et considérés comme radioactifs (environ 3 000).
🗺️ 2) Stabilité et instabilité des noyaux⚓︎
Pour localiser ces deux types de noyaux, on utilise un diagramme (N,Z) dit aussi diagramme de Segré dans lequel N = A - Z désigne le nombre de neutrons, et Z le nombre de protons. Le diagramme indique pour chaque isotope s'il est stable ou radioactif et fournit le type d'émission radioactive.
- Les noyaux stables se situent dans une zone centrale de ce diagramme appelée vallée de stabilité :
- Pour Z < 20, les noyaux stables se situent sur la diagonale N = Z (autant de protons que de neutrons).
- Pour Z > 20, la stabilité du noyau n'est assurée que si le nombre de neutrons est supérieur au nombre de protons.
- Aucun noyau dont Z > 83 n'est stable.
☢️ II. La radioactivité⚓︎
🧠 A savoir
▶️ Capsule : Les transformations nucléaires
🔬 1) Qu'est-ce que la radioactivité ?⚓︎
La radioactivité ☢️ est la transformation spontanée d'un noyau père instable en un noyau fils plus stable, accompagnée de l'émission de particules et/ou de rayonnements.
Une réaction de désintégration radioactive est modélisée par une équation qui respecte les lois de conservation de Soddy :
- la conservation du nombre de charge Z
- conservation du nombre de masse A
⚡ 2) Les différentes formes de radioactivité⚓︎
| Radioactivité β⁺ | Radioactivité β⁻ | Radioactivité α | Radioactivité γ |
|---|---|---|---|
| Émission d'un positon | Émission d'un électron | Émission d'un noyau d'hélium | Émission de photons très énergétiques par certains noyaux fils ayant un excédent d'énergie |
| \(\ce{^A_ZX -> ^A_{Z-1}Y + ^0_{+1}e}\) | \(\ce{^A_ZX -> ^A_{Z+1}Y + ^0_{-1}e}\) | \(\ce{^A_ZX -> ^{A-4}_{Z-2}Y + ^4_2He}\) | \(\ce{^A_ZX^* -> ^A_ZY + \gamma}\) |
| \(A=A^{'}+0 \text{ et } Z=Z^{'}+1\) | \(A=A^{'}+0 \text{ et } Z=Z^{'}-1\) | \(A=A^{'}+4 \text{ et } Z=Z^{'}+2\) | Le symbole * signifie que le noyau Y peut être porteur d'un surplus d'énergie (noyau excité) |
💡 Remarques importantes :
- X représente le symbole du noyau père et Y le symbole du noyau fils
- L'émission γ n'est pas une émission de particules matérielles mais un rayonnement électromagnétique de très courte longueur d'onde, donc de très grande énergie : à la suite d'une désintégration α ou β, si le noyau fils a un excédent d'énergie celle-ci peut être convertie en photons émis avec cette énergie.
▶️ Capsule : Exercice du Bac
📈 III. La décroissance radioactive⚓︎
🧠 A savoir
La radioactivité est un phénomène naturel : certains noyaux instables se transforment spontanément en d'autres noyaux en émettant des particules et/ou de l'énergie. On ne peut pas prévoir quand un noyau précis va se désintégrer, car le phénomène est aléatoire. En revanche, si l'on observe un très grand nombre de noyaux identiques, on constate que leur nombre diminue au cours du temps selon une loi mathématique bien définie.
🔢 1) Activité d'un échantillon⚓︎
Soit un échantillon radioactif contient initialement un nombre N₀ de noyaux radioactifs. Ce nombre de noyaux diminue au cours du temps car ces noyaux se désintègrent spontanément, on le note N(t).
On ne peut pas mesurer directement N(t), mais on peut mesurer l'activité de l'échantillon, en Becquerels (Bq).
Définition 📖
L'activité A(t) d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations par seconde.
Mathématiquement, elle est égale à l'opposée de la dérivée par rapport au temps du nombre d'atomes radioactifs restant dans l'échantillon à un instant t :
Puisque N diminue au cours du temps, alors l'activité A(t) diminue également. On admet que l'activité est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs N(t) restants dans l'échantillon. La constante de proportionnalité est appelée constante radioactive et notée λ, et on peut écrire :
📉 2) Loi de décroissance radioactive⚓︎
L'activité s'exprime de deux façons différentes : \(A(t) = -\frac{dN(t)}{dt}\) et \(A(t) = \lambda \times N(t)\).
En égalisant les deux expressions on obtient la relation \(-\frac{dN(t)}{dt} = \lambda \times N(t)\) qui est une équation différentielle du premier ordre.
| En physique | En mathématiques | |
|---|---|---|
| Équation différentielle d'ordre 1 | \(\frac{dN(t)}{dt} = -\lambda \times N(t)\) | \(y^{'}(x)=a×y(x)\) |
| Cette équation admet comme solution | \(N(t) = K \times e^{-\lambda t}\) | \(y(x)=K×e^{a×x}\) |
| La consdition initiale est | \(N(t=0)=K×e^{-λ×0}=N_0\) \(K×e^0=N_0\) \(K×1=N_0\) \(K=N_0\) |
\(y(x=0)=K×e^{a×0}=Y_0\) \(K×e^0=Y_0\) \(K×1=Y_0\) \(K=Y_0\) |
| La solution de l'équation est donc | \(N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}\) | \(y(x)=Y_0×e^{a×x}\) |
La résolution de l'équation différentielle conduit à l'expression de la loi de décroissance radioactive :
L'activité et le nombre de noyaux étant liés on peut aussi écrire :
▶️ Capsule : Etablir la loi de décroissance
⏱️ 3) Temps de demi-vie ou période radioactive⚓︎
▶️ Capsule : loi de décroissance radioactive
Le temps de demi-vie (ou période radioactive) est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux radioactifs (et donc l'activité) a diminué de moitié.
Le nombre de noyaux radioactifs restants au bout d'une demi-vie \(N(t_{1/2})\) est donné par la relation:
Selon la loi de décroissance radioactive on peut écrire : \(N(t_{1/2}) = N_0 \times e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{N_0}{2}\)
\(N_0×e^{-λ×t_{1/2}}=\frac{N_0}{2}\)
\(\iff e^{-λ×t_{1/2}}=\frac{1}{2}\)
\(\iff\ln{e^{-λ×t_{1/2}}}=ln(\frac{1}{2})\)
\(\iff-\lambda t_{1/2} = \ln\left(\frac{1}{2}\right)\)
\(\iff-\lambda t_{1/2} = \ln(1)-\ln(2))\)
\(\iff-\lambda t_{1/2} = 0 -\ln(2))\)
\(\iff\lambda t_{1/2} = \ln(2))\)
\(\iff\boxed{\;t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0{,}693}{\lambda}\;}\)
📏 IV. Applications⚓︎
🧠 A savoir
🏺 1) Datation par un isotope radioactif⚓︎
La mesure de l'activité d'un isotope radioactif (comme le carbone-14) d'un échantillon est utilisée en archéologie pour évaluer l'âge d'objets.
On part de la loi de décroissance radioactive pour N(t) ou A(t) :
-
\(N(t)=N_0×e^{-λ×t} ⟹ \frac{N(t)}{N_0} =e^{-λ×t} ⟹ \ln{(\frac{N(t)}{N_0})}=-λ×t ⟹ t = \frac{\ln{(\frac{N(t)}{N_0})}}{-λ}= \frac{\ln{(\frac{N_0}{N(t)})}}{λ}\)
-
\(A(t)=A_0×e^{-λ×t} ⟹ \frac{A(t)}{A_0} =e^{-λ×t} ⟹ \ln{(\frac{A(t)}{A_0})}=-λ×t ⟹ t = \frac{\ln{(\frac{A(t)}{A_0})}}{-λ}= \frac{\ln{(\frac{A_0}{A(t)})}}{λ}\)
En connaissant N₀ et N(t) ou A₀ et A(t) on peut calculer le temps écoulé, donc l'âge de l'échantillon.
🏥 2) Médecine⚓︎
Imagerie médicale 🔬 :
-
Scintigraphie : injection d'un traceur γ qui se fixe sur un organe et détection avec une gamma-caméra (thyroïde, cœur…).
-
TEP / PET scan : traceur β⁺ (ex : glucose marqué) pour visualiser l'activité des tissus (tumeurs, cerveau…).
Traitement des cancers 💉 :
-
Radiothérapie externe : faisceaux de rayons X ou γ dirigés sur la tumeur pour détruire les cellules cancéreuses.
-
Curiethérapie : petites sources radioactives placées au contact de la tumeur pour l'irradier localement.
🛡️ 3) Radioprotection⚓︎
Les trois grands principes de protection contre les émissions de rayonnements ou de particules :
⏱️ Réduire le temps d'exposition → moins on reste près de la source, plus la dose reçue est faible.
📏 Augmenter la distance → l'intensité du rayonnement diminue avec la distance.
🛡️ Utiliser des écrans (blindage) :
- rayonnements α stoppés par une feuille de papier ou la peau
- rayonnements β stoppés par quelques millimètres de plexiglas ou de métal léger
- rayonnements γ et X nécessitent des matériaux denses ou épais : plomb, béton, eau…
