Chapitre 16 : Mouvement dans un champ de gravitation 🪐🌌

▶️ Capsule : Le cours complet

▶️ Capsule : Le cours complet 2

I - Repère de Frenet 📐

A savoir

Le repère cartésien est peu adapté à l'étude des mouvements circulaires. Le repère de Frenet, lui, se place au point étudié et s'oriente selon la trajectoire (tangent et normal), ce qui rend la vitesse et l'accélération beaucoup plus lisibles.

Le repère de Frenet noté \((G~;~\overrightarrow{u_n},~\overrightarrow{u_t})\) est défini par :

• une origine mobile liée au point matériel M étudié

• un vecteur unitaire \(\overrightarrow{u_n}\) perpendiculaire en M à la trajectoire et orienté vers l'intérieur de la trajectoire

• un vecteur unitaire \(\overrightarrow{u_t}\) tangent en M à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Le repère de Frenet

Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération a pour coordonnées :

\[\overrightarrow{a}~\begin{pmatrix} a_n = \dfrac{v^2}{R} \\ a_t = \dfrac{dv}{dt} \end{pmatrix}~~\text{soit}~~\overrightarrow{a} = \frac{v^2}{R} \times \overrightarrow{u_n} + \frac{dv}{dt} \times \overrightarrow{u_t}\]

▶️ Capsule : Le repère de Frenet

II - Mouvement des satellites et des planètes selon Newton 🛰️☀️

A savoir

1. Vitesse d'une planète ou d'un satellite

Dans cet exemple, on étudie le mouvement d'une planète de masse \(m\), autour du Soleil de masse \(M_S\) dans le référentiel héliocentrique considéré comme galiléen. On suppose que la trajectoire de la planète est un cercle de centre S et de rayon r.

Planète en orbite circulaire autour du Soleil

On définit un repère de Frenet \(\left(O, \overrightarrow{u_n}, \overrightarrow{u_t}\right)\) positionné au centre O de la planète.

La planète n'est soumise qu'à la force d'attraction gravitationnelle du Soleil :

\[\overrightarrow{F}~\left\{\begin{array}{l}{\text{Point d'application : le centre O de la planète}}\\ {\text{Direction : la droite OS}} \\ {\text{Sens : de O vers S}} \\ {\text{Intensité : }F = G \times \dfrac{m \times M_S}{r^2}}\end{array}\right.\]

▶️ Capsule : La force d'interaction gravitationnelle

Les composantes de cette force dans le repère de Frenet sont donc :

\[\overrightarrow{F}~\begin{pmatrix} F_t = 0 \\ F_n = G \times \dfrac{m \times M_S}{r^2} \end{pmatrix}\]

D'après la deuxième loi de Newton : \(\sum \overrightarrow{F}_{ext} = \overrightarrow{F} = m \times \overrightarrow{a}~~\Rightarrow~~\overrightarrow{a} = \dfrac{\overrightarrow{F}}{m}\)

On en déduit les coordonnées de \(\overrightarrow{a}\) dans le repère de Frenet :

\[\overrightarrow{a}~\begin{pmatrix} a_t = \dfrac{F_t}{m} = \dfrac{0}{m} = 0 \\[8pt] a_n = \dfrac{F_n}{m} = \dfrac{1}{m} \times G \times \dfrac{m \times M_S}{r^2} \end{pmatrix}~~\Rightarrow~~\overrightarrow{a}~\begin{pmatrix} a_t = 0 \\[8pt] a_n = \dfrac{G \times M_S}{r^2} \end{pmatrix}\]

L'expression du vecteur accélération est donc : \(\overrightarrow{a} = G \times \dfrac{M_S}{r^2} \times \overrightarrow{u_n}\) : le vecteur accélération est colinéaire et dans le même sens que \(\overrightarrow{u_n}\), il est donc dirigé vers le centre de la trajectoire.

Par définition du repère de Frenet, on a :

\[\overrightarrow{a}~\begin{pmatrix} a_t = \dfrac{dv}{dt} = 0 \\[8pt] a_n = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{G \times M_S}{r^2} \end{pmatrix}\]

et on en déduit que :

• \(\dfrac{dv}{dt} = 0\) alors la vitesse \(v\) est constante et le mouvement de la planète est un mouvement circulaire uniforme.

• \(\dfrac{v^2}{r} = \dfrac{G \times M_S}{r^2}~~\Rightarrow~~v^2 = \dfrac{G \times M_S}{r}\) et donc \(\mathbf{v = \sqrt{\dfrac{G \times M_S}{r}} = \text{constante}}\)

▶️ Capsule : Vitesse d'un satellite (Exercice)

📌 BILAN

• Une planète ou un satellite tournant autour de son astre attracteur a un vecteur accélération purement normal dirigé vers le centre de sa trajectoire circulaire : son mouvement est circulaire et uniforme et la valeur de la vitesse est \(v = \sqrt{G \times \dfrac{M_S}{r}} = \text{constante}\)

• Pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération et la vitesse d'une planète ou d'un satellite sont reliés par la relation :

\[a = \frac{v^2}{r}~~\left\{\begin{array}{l}{\text{v : vitesse en m.s}^{-1}}\\ {\text{r : rayon de l'orbite circulaire en m}} \\ {\text{a : accélération en m.s}^{-2}}\end{array}\right.\]

2. Période de révolution d'une planète ou d'un satellite 🔄

La planète parcourt une trajectoire circulaire autour du Soleil dont les caractéristiques sont :

• \(\mathbf{\Delta t = T}\) la période de révolution : c'est la durée mise pour faire un tour complet autour du Soleil.

• \(\mathbf{d = 2\pi r}\) la longueur de la circonférence de la trajectoire circulaire : c'est la distance parcourue pendant la période T.

On en déduit donc que : \(v = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{2\pi r}{T}\)

Or on a vu précédemment que : \(v = \sqrt{G \times \dfrac{M_S}{r}}\)

Donc il en résulte que :

\[\frac{2\pi r}{T} = \sqrt{\frac{G \times M_S}{r}}~~\Leftrightarrow~~\mathbf{T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G \times M_S}}}~~\Leftrightarrow~~\mathbf{T^2 = 4\pi^2 \times \frac{r^3}{G \times M_S}}\]

On constate que le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du rayon du cercle (c'est la troisième loi de Kepler).

▶️ Capsule : Démonstration de la 3ème loi de Kepler

▶️ Capsule : Mouvement d'un satellite (Exercice)

3. Satellite géostationnaire 🌍📡

Pour être géostationnaire, un satellite doit, dans le référentiel géocentrique, satisfaire à plusieurs conditions :

• Il doit décrire un cercle dans un plan perpendiculaire à l'axe des pôles. Ce plan est nécessairement celui qui contient l'équateur terrestre : le plan de l'orbite du satellite est équatorial.

• Le sens du mouvement doit être le même que celui de la rotation de la Terre autour de l'axe des pôles.

• La période de révolution doit être égale à la période de rotation propre (ou sidérale) de la Terre : \(T = 1 \text{ jour sidéral} = 23\text{ h }56\text{ min }4\text{s} = 86164\text{ s}\)

Orbite d'un satellite géostationnaire

III - Lois de Kepler 🔭🌠

A savoir

▶️ Capsule : Les 3 lois de Kepler

1. Première loi de Kepler (ou loi des orbites)

La trajectoire d'une planète autour de son astre attracteur est une ellipse et l'astre attracteur occupe l'un des foyers.

Le point de la trajectoire :

• le plus éloigné de l'astre attracteur se nomme l'aphélie.

• le plus proche de l'astre attracteur se nomme le périhélie.

Trajectoire elliptique d'une planète autour de son astre attracteur

2. Deuxième loi de Kepler (ou loi des aires) 📐

Le segment reliant l'astre attracteur à la planète balaye des aires égales pendant des durées égales.

Le segment planète-Soleil balaye des aires égales en des temps égaux

La vitesse d'une planète n'est pas constante : elle augmente lorsqu'elle se rapproche de l'astre attracteur (périhélie) et diminue lorsqu'elle s'en éloigne (aphélie).

3. Troisième loi de Kepler (ou loi des périodes) ⏱️

Le quotient du carré de la période T de révolution d'un satellite par le cube du demi-grand axe \(a\) de son orbite est indépendant du satellite et ne dépend que de la masse M de l'astre attracteur :

\[\frac{T^2}{a^3} = \text{cste} = \frac{4\pi^2}{G \times M_\text{astre}}~~\left\{\begin{array}{l}{G = 6{,}67 \times 10^{-11}~\text{m}^3.\text{kg}^{-1}.\text{s}^{-2}}\\ {M_\text{astre} = \text{masse de l'astre attracteur (kg)}}\end{array}\right.\]

Dans le cas où l'on considère que les trajectoires des planètes et des satellites sont des cercles, on peut déterminer leur période de révolution T en remplaçant, dans la troisième loi de Kepler, le demi-grand axe \(a\) de l'ellipse par le rayon \(r\) de l'orbite circulaire :

\[\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_\text{astre}}~~\Longrightarrow~~T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G \times M_\text{astre}}}\]

Demi grand axe d'une ellipse