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Chapitre 4 : Caractéristiques des ondes et effet Doppler⚓︎

I. 🔎 Caractéristiques des ondes⚓︎

A savoir

Une onde mécanique progressive est caractérisée par la propagation d’une perturbation dans un milieu matériel sans transport de matière mais avec transport d’énergie.

On considère une onde qui se propage d’un point A à un point B. Celle-ci peut être caractérisée par :

🚀 Sa vitesse de propagation appelée célérité ↔️ Son élongation
\(\({v}=\frac{d}{\tau}~~~avec~~~\left\{\begin{array}{l} {v:vitessse~en~m.s^{-1}.}\\{d:distance~en~mètres(m)}\\{\tau:retard~en~secondes(s)}\end{array}\right.\)\) L’élongation est l’écart de position d’un point par rapport à sa position de repos lorsque la perturbation se propage.👉 L’amplitude est la valeur maximale de l’élongation
Vitesse d'une onde
Vitesse d'une onde
Elongation d'une onde
Elongation d'une onde

Une onde progressive est périodique lorsque la perturbation se reproduit identiquement à elle-même à intervalles de temps réguliers.

➡️ Une onde périodique est caractérisée par sa double périodicité :

La périodicité temporelle La périodicité spatiale
⏱La période temporelle T (en s) d'une onde périodique, est la plus petite durée au bout de laquelle l’onde se reproduit identique à elle-même en un point donné. 📏La période spatiale λ (en m) d'une onde périodique, appelée longueur d'onde, est la distance parcourue par l’onde pendant une durée égale à la période.
Periode temporelle
Periode temporelle
Periode spatiale
Periode spatiale
👉 A partir de la période temporelle, on peut également définir la fréquence : c’est le nombre de fois que se reproduit la perturbation par seconde en un point donné. 👉 Dans la cas d’un ondes progressive périodique la célérité de l’onde v est liée à la longueur d’onde λ et à la période temporelle T (ou la fréquence f.
\(f=\frac{1}{T}~~~avec~~~\left\{\begin{array}{l} {f:fréquence~en~hertz(Hz)}\\{T:période~en~secondes(s)}\end{array}\right.\) \(v=\frac{\lambda}{T}={\lambda}\times{f}~~~avec~~~\left\{\begin{array}{l}{v:vitessse~en~m.s^{-1}.}\\{\lambda:longueur~d'onde~en~mètres(m)}\\{T:période~en~secondes(s)}\\ {f:fréquence~en~hertz(Hz)}\end{array}\right.\)

▶️ Capsule : Rappels sur les ondes

II. 🔊 Intensité sonore et niveau d’intensité sonore⚓︎

A savoir

🔊 Intensité sonore et niveau sonore⚓︎

L’intensité sonore \(I\) caractérise le son reçu par l’oreille : c’est la puissance par unité de surface transportée par les ondes sonores.

Dans un milieu sans absorption, la puissance \(P\) se répartit sur une sphère centrée sur la source :

\[ I = \frac{P}{S} = \frac{P}{4 \pi d^2} ~~~avec~~~\left\{\begin{array}{l} {I:Intensité~acoustique~en~W.m^{-2}}\\{P:puissance~en~Watt(W)}\\{S:surface~en~m^2}\\{d:distance~en~m}\end{array}\right.\]

On définit le niveau sonore \(L\) (en décibel, dB) :

\[ L = 10 \times \log \left(\frac{I}{I_0}\right) \quad \text{ou bien} \quad I = I_0 \times 10^{L/10} ~~~avec~~~\left\{\begin{array}{l} {L:niveau~sonore~en~décibel(dB))}\\{I:Intensité~acoustique~en~W.m^{-2}}\\{I_0=10^{-12}W.m^{-2}~est~le~seuil~d'audibilité.}\end{array}\right.\]

\(I_0\) est l'intensité sonore minimale perceptible par l'oreille humaine.

⚠️⚠️⚠️ Attention : les niveaux sonores \(L\) ne s’additionnent pas, alors que les intensités \(I\) oui !⚠️⚠️⚠️

▶️ Capsule : Intensité sonore et niveau sonore

▶️ Capsule : Intensité sonore et niveau sonore exemple

🎧 Atténuation acoustique⚓︎

L’atténuation désigne la diminution de l’intensité d’une onde sonore lorsqu’elle se propage. Elle peut avoir plusieurs origines :

📉 Atténuation géométrique 🌫 Atténuation par absorption
Elle due à la distance par rapport à la source Elle est due à la traversée d'un matériau absorbant
\(A_{\text{géométrique}} = L_{\text{proche}} - L_{\text{éloigné}}\) \(A_{\text{absorption}} = L_{\text{transmis}} - L_{\text{incident}}\)
Attenuation geometrique
Attenuation geometrique
Attenuation par absorption
Attenuation par absorption

III. 📡 Effet Doppler⚓︎

A savoir

1. Présentation de l’effet Doppler⚓︎

L’effet Doppler est un phénomène physique bien connu : quand une 🚑 ambulance passe devant vous, le son de sa sirène devient plus aigu quand elle s’approche, puis plus grave quand elle s’éloigne.

Ce phénomène physique provoque un décalage entre la fréquence émise \(f_E\) et la fréquence reçue \(f_R\) lorsque la source émettrice est en mouvement par rapport à l’observateur :

\[ \Delta f = f_R - f_E \]
🚗 Source qui se rapproche ⚖️ Source au niveau du récepteur 🚙 Source qui s’éloigne
Source qui **se rapproche**
Source **au niveau du récepteur**
Source qui **s’éloigne**
\(\lambda_R < \lambda_E\) donc \(T_R < T_E\) \(\lambda_R = \lambda_E\) donc \(T_R = T_E\) \(\lambda_R > \lambda_E\) donc \(T_R > T_E\)
\(f_R > f_E\) et \(\Delta f > 0\) \(f_R = f_E\) et \(\Delta f = 0\) \(f_R < f_E\) et \(\Delta f < 0\)

▶️ Capsule : Présentation de l'effet Doppler

2. 📐 Calcul de l’expression du décalage Doppler (démonstration à connaître par cœur)⚓︎

Un émetteur d’ondes sonores \(E\) se rapproche d’un récepteur fixe \(R\) avec une vitesse constante \(v\).

Cet émetteur \(E\) émet une onde de période \(T_E = \frac{1}{f_E}\) qui se propage à la célérité \(c\).

Données du problème :

  • \(f_E\) : fréquence émise (Hz)
  • \(f_R\) : fréquence reçue (Hz)
  • \(v\) : vitesse de la source (m/s)
  • \(c\) : vitesse de l’onde (m/s)
  • \(T_E\) : période d’émission (s)
  • \(T_R\) : période de réception (s)

⏱ Étape 1 : Analyse temporelle de l’émission⚓︎

  • À l’instant \(t_0 = 0\) s : la source \(S\) en position \(M_0\) émet un premier signal qui se propage vers le récepteur \(R\) situé à la distance \(D\).
  • À l’instant \(t_1 = T_E\) : la source, maintenant en position \(M_1\), émet un deuxième signal.

Distance parcourue par la source : \(M_0M_1 = v \times T_E\)

Nouvelle distance source-récepteur : \(D' = D - v \times T_E\)

📡 Étape 2 : Calcul des temps de propagation⚓︎

Premier signal (parcourt la distance D) Deuxième signal (parcourt la distance D')
Temps de trajet pour parcourir \(\Delta t_1 = \frac{D}{c}\) \(\Delta t_2 = \frac{D - v \times T_E}{c}\)
Instant de réception \(t_{R1} = t_0 + \Delta{t_1} = \frac{D}{c}\) \(t_{R2} = t_1 + \Delta{t_2} =T_E + \frac{D - v \times T_E}{c}\)
Schéma de situation
cc
cc

📏 Étape 3 : Calcul de la période de réception⚓︎

La période de réception \(T_R\) correspond à l’intervalle de temps entre la réception de deux signaux consécutifs :

\(T_R = t_{R2} - t_{R1}\)

\(T_R = T_E + \frac{D - v \times T_E}{c} - \frac{D}{c}\)

\(T_R = T_E + \frac{D}{c} -\frac{v \times T_E}{c} - \frac{D}{c}\)

\(T_R = T_E - \frac{v \times T_E}{c}\)

\(T_R = T_E \times \left(1 - \frac{v}{c}\right)\)

\(T_R = T_E \times \left(\frac{c - v}{c}\right)\)

🎼 Étape 4 : Relation entre les fréquences⚓︎

On connait la relation entre la période et la fréquence : \(f = \frac{1}{T}\)

On en déduit donc que :

\(T_R = T_E \left(\frac{c - v}{c}\right)\)

\(\frac{1}{T_R} = \frac{1}{T_E} \times \frac{1}{\left(\frac{c - v}{c}\right)}\)

\(f_R = f_E \times \left(\frac{c}{c - v}\right)\)

✅ Formule finale du décalage Doppler⚓︎

Pour une source qui se rapproche d’un récepteur fixe :

\(\Delta f = f_R - f_E = f_E \times \frac{c}{c - v} - f_E = f_E \times (1 -\frac{c}{c - v}) = f_E \times (\frac{c-v-c}{c - v})\)

\(\Delta f = f_E \times \left( \frac{v}{c - v} \right)\)

3. 📍 Les deux formules du décalage Doppler⚓︎

➡️ Cas ou la source se dirge vers l'émmetteur

\(\Delta f = f_E \times \left( \frac{v}{c - v} \right) > 0\) donc \(f_R > f_E\) : le récepteur entend un son plus aigu.

Si v petite par rapport à c alors : \(\Delta f = f_E \times \frac{v}{c}\)

➡️ Cas ou la source s'éloigne de l'émmetteur

\(\Delta f = -f_E \left( \frac{v}{c + v} \right) < 0\) donc \(f_R < f_E\) : le récepteur entend un son plus grave.

Si v petite par rapport à c alors : \(\Delta f = - f_E \times \frac{v}{c}\)

5. 🚀 Applications⚓︎

  • 🚔 Radar Doppler : mesure de la vitesse des véhicules
  • 🩺 Médecine : échographie Doppler pour mesurer la vitesse du flux sanguin
  • 🌌 Astronomie : calcul de la vitesse d’éloignement/rapprochement des galaxies (décalage vers le rouge/bleu)

▶️ Capsule : Calculer une vitesse grace à l'effet Doppler - Exercice